Séries hipergeométricas generalizadas no contexto da teoria das funções hipercomplexas

Abstract

O principal objectivo deste trabalho consiste em estudar séries hipergeométricas com uma ou duas variáveis e suas generalizações no contexto da Análise de Clifford. No primeiro capítulo referimos as definições e resultados essenciais sobre as séries hipergeométricas. São apresentados vários teoremas e identidades fundamentais. O segundo capítulo é dedicado à relação entre as séries hipergeométricas generalizadas e os polinómios ortogonais clássicos. No terceiro capítulo referimos alguns fundamentos da Análise de Clifford. Apresentamos o conceito de diferenciabilidade hipercomplexa de funções com valores na Álgebra de Clifford. Mostramos que a classe de funções diferenciáveis hipercomplexas coincide com a classe de funções monogénicas, definidas como soluções de um sistema generalizado de Cauchy-Riemann. Abordamos o produto n-ário que pode ser aplicado para construir a analogia de séries de potências, para que estas gerem funções monogénicas. Finalmente discutimos o conceito da extensão de Cauchy-Kowalewskaya como aplicação para obter, a partir de séries de potências de várias variáveis reais, séries em termos de duas ou mais variáveis totalmente regulares. No quarto e último capítulo aplicamos os conceitos do capítulo anterior para estudar funções monogénicas, dadas em termos de duas variáveis hipercomplexas conjugadas, isto é, em termos de x e x . Obtêm-se funções monogénicas e suas séries hipercomplexas correspondentes que permitem uma interpretação como um novo tipo de séries hipergeométricas generalizadas (generalizações da função exponencial e do polinómio associado de Laguerre, entre outras).

ABSTRACT: The main objective of this work consists in studying hypergeometric series with one or two variables and their generalizations in the Clifford Analysis context. In the first chapter the definitions and the essential results about hypergeometric series are referred. Several theorems and fundamental identities are presented. The second chapter is about the relations between the generalized hypergeometric series and the classical orthogonal polynomials. In the third chapter we mention some fundamentals of the Clifford Analysis. We present the hypercomplex differentiability concept of functions with values in a Clifford Algebra. We show that the class of hypercomplex differentiable functions coincides with the class of monogenic functions defined as solutions of a generalized Cauchy- Riemann-system of partial differential equations. We describe an n-nary product that can be applied for constructing the analogue of power series, thereby generating monogenic functions. Finally we explain the concept of Cauchy- Kowalewskaya-extension as application for getting from power series of some real variables, generalized power series in terms of two or more total regular variables. In the fourth and last chapter we use the concepts of the previous chapter to study monogenic functions, in terms of two hypercomplex variables, that is, in terms of x and x . We obtain monogenic functions and their corresponding representations as hypercomplex series which allow us an interpretation as a new type of generalized hypergeometric series (generalization of the exponential function and the associated Laguerre polynomials, among others).