Development of a modular software based on the finite element method for incompressible problems

Abstract

The importance of numerical simulation in the engineering field makes relevant the development of computational tools, based on the Finite Element Method, to solve structural problems. However, the application of the classical Finite Element approach to incompressible (or near-incompressible) situations has been a source of numerical problems, such as volumetric locking. This Dissertation describes several formulations used in the analysis of incompressible problems, with focus on the four-node bi-linear quadrilateral element. Over the last decades special attention has been given to improve the performance of this element under incompressibility due to its computational effectiveness, making it attractive to be used in complex problems. The devised solutions are often targeted at treating the effects of volumetric locking, although some of them were originally targeted at the treatment of shear locking. In this context, the studied formulations were the selective integration approach, the B-bar method, the mixed (u/p) method and the enhanced strain method, which includes compatible and incompatible mode elements. In order to computationally implement these finite element formulations, a revision of the fundamental concepts and basic formulas of the classical method, and for each alternative formulation, is carried out. In the context of incompressibility, the underlying concept is presented and the problem of locking is described. The development of an in-house software, also in the context of this Dissertation, targeted at solving incompressible problems is discussed. Some important sub-routines and programming approaches are referred to with code examples. Finally, the quality of implementation and efficiency of the finite element formulations is evaluated by analyzing a series of benchmark tests, using the developed in-house software and comparing the results against the ones coming from a commercial finite element software.

A importância da simulação numérica no campo da engenharia torna relevante o desenvolvimento de ferramentas computacionais, baseadas no Método dos Elementos Finitos, destinadas à resolução de problemas estruturais. Contudo, a aplicação do Método dos Elementos Finitos a problemas incompressíveis ou (quasi-incompressíveis) apresenta tipicamente uma série de problemas, nomeadamente de retenção numérica. Nesta dissertação são descritas várias formulações destinadas à análise de problemas incompressívies com enfoque no elemento finito quadrilátero (bilinear) de quatro nós. Nas últimas décadas, este elemento tem vindo a receber especial atenção no sentido de melhorar a sua performance em problemas de incompressibilidade, devido à sua elevada eficiência em termos computacionais, o que o torna atractivo para ser utilizado em problemas mais complexos. Geralmente, as soluções desenvolvidas passam por estratégias de minimização dos efeitos de retenção volumétrica, embora algumas dessas formulações se destinassem originalmente a resolver problemas de retenção associados às componentes de deformação de corte. Neste contexto, as formulações estudadas foram a integração selectiva, o método B-bar, o método misto deslocamento/pressão e o método das deformações acrescentadas, o qual inclui formulações de modos compatíveis e incompatíveis. Tendo em vista a implementação computacional destas formulações de elementos finitos, efectua-se uma revisão dos conceitos básicos fundamentais do método clássico e das formulações alternativas. No contexto da incompressibilidade, apresenta-se o conceito básico e uma breve referência ao problema da retenção. No contexto desta dissertação foi desenvolvido um software destinado a resolver problemas de incompressibilidade. Algumas sub-rotinas são apresentadas fazendo referência a algumas abordagens de programação com exemplificação de código. Finalmente, avalia-se a qualidade da implementação e a eficiência das formulações implementadas através da análise de resultados de diversos benchmarks, usando o software desenvolvido e comparando os resultados obtidos com aqueles provenientes de um software comercial.