Sobre o teorema de Courant-Fischer duas abordagens

Abstract

Este trabalho é constituído por dois capítulos independentes mas relacionados através do Teorema de Courant-Fisher. Este teorema, numa versão mais abrangente, permite caracterizar certos números, a que chamaremos invariantes, através de uma igualdade entre máximos de mínimos e mínimos de máximos de certo tipo de funções, conhecidas por "quocientes de Rayleigh". Se os invariantes caracterizados por essas igualdades são os valores singulares de um operador linear, nos quocientes de Rayleigh intervém a norma euclidiana, tanto no domínio como no espaço imagem desse operador. Quando se consideram outras normas, em geral perde-se a igualdade entre os máximos de mínimos e os mínimos de máximos, mantendose apenas a desigualdade num certo sentido. Os mínimos de máximos, conhecidos por números de Gelfand, são superiores ou iguais aos máximos de mínimos, conhecidos por números de Bernstein. Está em aberto a questão de saber se o Teorema de Courant- -Fisher, isto é, a igualdade entre números de Gelfand e de Bernstein, pode de alguma forma caracterizar a norma euclidiana. No primeiro capítulo fez-se o estudo de números de Gelfand e de Bernstein de certo tipo de matrizes, utilizando a norma euclidiana no espaço imagem e normas p de H61der no domínio. Restringimo-nos. ao caso real e obtivemos alguns resultados que supomos serem originais. São eles, no caso da matriz identidade de ordem três, o cálculo do segundo número de Gelfand para p menor que dois e o segundo número de Bernstein para p maior que dois (para os outros valores de p esses números são conhecidos); São apresentadas configurações optimais; prova-se que, para essas matrizes, há igualdade entre números de Gelfand e de Bernstein para p inferior ou igual a quatro e, para p superior a quatro, o segundo número de Gelfand é superior ao de Bernstein; prova-se ainda que é crescente a função que associa a cada p o segundo número de Bernstein. Para p =4 e ainda dimensão três, prova-se que a bola associada tem uma intersecção circular (cujo raio é calculado) com determinado tipo de planos. Este resultado é de certa forma generalizado a qualquer dimensão superior a três. Para p =1 , são apresentadas configurações optimais para os números de Gelfand de certo tipo de matrizes diagonais de ordem n de que a identidade não faz parte. Para p =00, são calculados o segundo número de Gelfand e o penúltimo número de Bernstein da matriz identidade de ordem n e são apresentadas configurações optimais. Ainda para p =00 é apresentada uma classe de matrizes diagonais de ordem n para as quais se têm números de Gelfand superiores aos correspondentes números de Bernstein. Regressando ao Teorema de Courant-Fisher, na sua versão mais abrangente ele permite caracterizar os valores próprios de uma matriz hermítica, os valores singulares de uma matriz complexa qualquer e os factores invariantes de uma matriz sobre um domínio de ideais principais. E ainda, na estrutura de espaço-s definida por Carlson e Sá, se usarmos certo tipo de "quocientes de Rayleigh", o teorema mantém-se válido e caracteriza os invariantes desses quocientes. Nessa estrutura é também válido um teorema de entrelaçamento e, definindo uma certa operação binária, chamemos-lhe produto, entre quocientes de Rayleigh, é possivel relacionar os invariantes do produto com os invariantes dos factores através de desigualdades em que intervêm famílias de índices análogas às que se utilizam no contexto dos valores próprios da soma de duas matrizes hermíticas, dos valores singulares do produto de duas matrizes complexas e dos factores invariantes do produto de duas matrizes sobre um domínio de ideais principais. Há um teorema, conhecido por "pushing-Iemma", que permite construir essas famílias de índices. Um dos objectivos do segundo capítulo é o estabelecimento do "pushing-Iemma" na estrutura de espaço-s. O outro objectivo é interpretar, na estrutura de espaço-s, a noção de "blocking system" apresentada por R. A. Brualdi, assim corno um .teorema de minimax de que sai como caso particular o teorema de Courant-Fisher.

The present work comprises two chapters independent of each other but related lhrough the Courant-Fischer theorem, This theorem, in a generalized version, characterizes certain quanlities, to be called invariants, by equalities between maxima of mini ma and minima of maxima of certain functions known as Rayleigh quotients, When lhe invariants characterized by those equalilies are the singular values of a linear operator, in lhe Rayleigh quotients we find lhe euclidian norm, both in lhe domain and lhe codomain of the operator. If one takes other norms in lhose spaces, in general the equalily between maxima of minima and minima of maxima is lost, and only an inequality remains: the minima of maxima, known as Gelfand numbers, are greater or equal lo the maxima of mini ma, known as Bernstein numbers, II is an open queslion whelher the Courant-Fischer theorem, j, e, the equality between Gelfand and Bernstein numbers, can in some way characterize the euclidian norm, ln the first chapler we study Gelfand and Bernstein numbers of certain matrices, using the eUclidian norm in the codomain and Hólder p-norms in the domain, We restrict ourselves to the real case and we obtain some resulls we think are new, They are the following: for the 3x3 identily matrix, the computation of lhe second Gelfand number for p<2 and lhe second Bernstein number for p>2 (for other values of p lhese numbers were known); we presenl optimal configurations; we prove thal, for lhal matrix, there is equality belween Gelfand and Bernslein numbers for p$4 and, for p>4, the second Gelfand number is slriclly larger than the corresponding Bernstein number; addilionally, we prove that the funclion associating to p lhe second Bernslein number is increasing, For p=4, slill in dimention three, we prove thal the unil ball has a circular inlerseclion (of which the radius is compuled) wilh certain planes, This is generalized lo dimensions greater lhan three, For p=1, we present oplimal configurations for the Gelfand numbers of certain nxn diagonal matrices which do not include lhe identity, For p==, we com pule lhe second Gelland number and lhe last bul one Bernstein number 01 lhe nxn idenlity malrix and we presenl optimal conligurations. Also 'Ior p== we present a class 01 nxn diagonal malrices whose Gelland numbers are grealer than lhe corresponding Bernstein numbers. Relurning to lhe generalized version 01 the Couranl-Fischer theorem, it yields a characterizalion 01 lhe eigenvalues 01 Hermilian matrices, 01 lhe singular values 01 arbitrary complex malrices and 01 lhe invariant lactors 01 matrices over a principal ideal domain. ln the s-space structure defined by Carlson and Sá, ii we use certain "Rayleigh quotients", the theorem still holds and it characlerizes lhe invarianls lor those quotients. An interlacing theorem also holds in Ihat structure, and defining an operation - cal! it a product - between Rayleigh quotients, iI is possible to relate the invariants 01 the product wilh those 01 the lactors by means 01 inequalilies in which appear index lamilies similar to Ihose appearing in the inequalities known lor the eigenvalues 01 a sum 01 two Hermitian matrices, lor the singular values 01 the product 01 two complex matrices and lor the invariant lactors 01 the product 01 two matrices ove r a principal ideal domain. There is a result, known as the "pushing-Iemma", which gives a way to construct such index lamilies. One 01 the purposes 01 the second chapler is lo establish a "pushing-Iemma" in the s-space setting. Another objeclive is to interpret, in the s-space structure, R. A. Brualdi's combinatorial notion 01 "blocking system", as wel! as a min-max Iheorem 01 which the Courant-Fischer theorem is a particular case.