Invariantes espetrais da matriz de Randic de um grafo

Abstract

Este trabalho apresenta um estudo sobre invariantes espetrais da matriz de Randić de um grafo. O índice de Randić é um invariante espetral apresentado em 1975 por Milan Randić e com importantes aplicações ao nível da Química. Em 2010 define-se a matriz de Randić, uma matriz não negativa construída a partir desse índice. O estudo do espetro de matrizes associadas a grafos é um dos grandes objetivos da investigação em teoria dos grafos e são já diversas as aplicações em diferentes áreas científicas. Neste trabalho é estudado o espetro da matriz de Randić associada a um grafo e definido o spread de Randić. Para além disso, são apresentados majorantes e minorantes para esse invariante espetral. Em Química, a energia de grafos caterpillar, que estão associados a sistemas aromáticos, está relacionada com as relações de ressonância desses sistemas. Tendo esse facto como motivação, é estudado o espetro e o espetro de Randić de grafos caterpillar e são apresentados majorantes para a energia e para a energia de Randić dessa classe de grafos.

This work presents a study related to spectral invariants for the Randić matrix of a graph. The Randić index is a spectral invariant presented in 1975 by Milan Randić and with important applications in chemistry. In 2010 the Randić matrix was defined as a nonnegative matrix built from this index. The study of the spectrum of matrices associated with graphs is one of the major goals of research in graph theory and there are already several applications in different scientific areas. In this work the spectrum of the Randić matrix associated to a graph is studied and the Randić spread is defined. In addition, upper and lower bounds are presented for this spectral invariant. In chemistry, the energy of caterpillar graphs, that are associated with aromatic systems, is related with the resonance of these systems. Having this as motivation, the spectrum and the Randić spectrum of caterpillar graphs are studied and upper bounds are presented for the energy and for the Randić energy of this class of graphs.