Structural numerical simulation code development with isogeometric anakysis (IGA)

Abstract

In the present day most product development industries uses the Finite Element Method (FEM) for structural analysis. Designers model the product geometries using Computer-Aided Design (CAD) software, the geometries are then fitted for analysis, by the analysts, with a mesh approximation that inevitably results in loss of accuracy. Achieving the best geometry description for complex components can be a complex task and it can take a lot of time. Considering this drawback, a new method was developed which takes advantages of curve representation tools and uses them as bases for analysis. Aiming for no loss of geometrical precision, this new method has been called "Isogeometric Analysis" (IGA). The smoothness of Spline representations used in Isogeometric Analysis can be useful for a particular branch of structural analysis which is the analysis of plates and shells. The classic thin plate theory developed by Gustav Kirchhoff requires a geometry description with C1 continuity between elements which is normally defined by high order polynomial functions, which typically represents a problem with the piecewise Lagrangian shape functions used in conventional FEM. The present work explores parametric descriptions used as basis for Isogeometric Analysis, such as Bézier curves, B-splines and NURBS, taking advantage of its smoothness to develop formulations for thin plate elements. The 4-node rectangular derived by Melosh, O. Zienkiewicz and Y. Chung called MCZ thin plate element based on Kirchhoff assumptions, was the starting point to build up to a NURBS-based thin plate element. MCZ thin plate elements, NURBS-based thin plate elements (with different order geometries) and Abaqus commercial software shell elements are evaluated by means of classical plate benchmarks comparing the elements convergences and overall performance. It can be shown that the proposed NURBS-based formulation is reliable for the analysis of thin structures.

Nos dias de hoje a maioria da indústria de desenvolvimento do produto utiliza o Método dos Elementos Finitos (MEF) na análise estrutural. Os desenhistas modelam o produto através de ferramentas de Computer-Aided Design (CAD). As geometrias são depois ajustadas para a análise pelos analistas que constroem uma aproximação através de uma malha de elementos finitos, o que inevitavelmente resulta numa perda de precisão geométrica. Para conseguir a melhor aproximação à geometria original para componentes complexos o processo pode ser complicado e pode consumir muito tempo. Considerando esta desvantagem foi desenvolvido um novo método que tira partido da descrição geométrica das ferramentas de desenho e utiliza as funções base das curvas para analise, com o objectivo de não haver perda de precisão geométrica, este novo método tem o nome de “Análise Isogeométrica” (IGA). A suavidade das geometrias Splines usadas na análise isogeometrica pode ser muito útil num ramo particular da análise estrutural, no estudo das placas e cascas. A teoria clássica de análise de placas finas de Kirchhoff requer uma descrição geométrica que tenha continuidade C1 entre elementos, que é normalmente definida por polinómios de ordem elevada, que são tipicamente um problema para as funções de forma Lagrangeanas usadas em MEF. O presente trabalho explora as descrições geométricas utilizadas como funções de forma para a análise isogeométrica como as curvas de Bézier, as B-splines e as NURBS, tirando vantagem da facilidade de estas conseguirem a requerida continuidade entre elementos para criar elementos de placas finas com as funções de base NURBS como funções de forma. É utilizado o elemento de placa fina MCZ desenvolvido por Melosh, O. Zienkiewicz e Y. Chung com base nas premissas de Kirchhoff como ponto de partida para desenvolver o elemento com base em NURBS. No fim os elementos de placas finas MCZ, os elementos com funções de base NURBS (com geometrias de diferentes ordens) e elementos do tipo casca do software comercial Abaqus são avaliados através de uma série de diferentes problemas clássicos de placas, comparando a convergência e o desempenho global. É possivel ver que a formulação proposta é fidedigna na análise de estruturas de placa fina.