Complex network view of envolving manifolds

Abstract

Neste estudo investigamos redes complexas formadas por triangulações de variedades topológicas em evolução, localmente homeomórficas a um plano. O conjunto de transformações dessas redes é restringida pela condição de que a cada passo todas as faces se mantenham triangulares. Neste trabalho adotamos duas abordagens principais. Na primeira abordagem crescemos variedades usando várias regras simples, que progressivamente adicionam novos triângulos. Na outra abordagem relaxamos a estrutura de variedades grandes, mantendo o número de triângulos constante. As redes resultantes da evolução destas triangulações demonstram várias características interessantes e inesperadas em redes planares, tais como diâmetros ”small-world” e distribuições de grau tipo lei de potência. Finalmente manipulámos a topologia das variedades pela introdução de ”wormholes”. A presença de ”wormholes” pode mudar a estrutura da rede significamente, dependendo da taxa a que são introduzidos. Se introduzirmos ”wormholes” a uma taxa constante, o diâmetro da rede apresenta um crescimento sub-logarítmico com o número de nodos do sistema.

We study complex networks formed by triangulations of evolving manifolds, locally homeomorphic to a plane. The set of possible transformations of these networks is restricted by the condition that at each step all the faces must be triangles. We employed two main approaches. In the first approach we grow the manifolds using various simples rules, which progressively had new triangles. In the other approach we relax the structure of large manifolds while keeping the number of triangles constant. The networks resulting from these evolving triangulations demonstrate several interesting features, unexpected in planar networks, such as small-world diameters and power-law degree distributions. Finally, we manipulate the topology of the manifolds by introducing wormholes. The presence of wormholes can change significantly the network structure, depending on the rate at which they are introduced. Remarkably, if we make wormholes at constant rate, the network’s diameter shows a sub-logarithmic growth with the number of nodes in the system.