Barreiras autoconcordantes e álgebras de Jordan em problemas combinatórios

Abstract

Após a apresentação dos principais resultados sobre álgebras de Jordan, nomeadamente sobre álgebras de Jordan euclidianas, analisam-se as propriedades da barreira F=-detlog definida sobre um cone simétrico, com uma abordagem puramente algébrica. Apresenta-se uma nova demonstração da r-normalidade da barreira F, definida sobre o cone dos quadrados de uma álgebra de Jordan euclidiana com característica r, demonstra-se que o número de Caratheodory deste cone é igual a r e deduzem-se as consequentes conclusões sobre o parâmetro óptimo da barreira F. Introduz-se a definição de barreira ν − euclidiana e, a partir das propriedades dessa barreira, constrói-se um subgrupo de automorfismos sobre um cone simétrico de um espaço vectorial euclidiano. Descrevem-se as álgebras coerentes, nomeadamente as álgebras coerentes homogéneas simétricas, as quais estão directamente relacionadas com grafos fortemente regulares e, com base nelas, propõe-se um algoritmo para a determinação de grafos fortemente regulares de ordem par, no pressuposto de se conhecerem todos os quadrados latinos reduzidos simétricos unipotentes da mesma ordem. Finalmente, determinam-se famílias de álgebras de Jordan euclidianas que incluem grafos regulares e fortemente regulares e deduzem-se as respectivas tabelas de caracteres.

After the main results on Jordan algebras, namely on Euclidean Jordan algebras, the properties of the barrier F=-logdet defined on a symmetric cone are analyzed in an algebraic way. A new proof that the barrier F is r-ormal over the interior of the cone of squares of a Euclidean Jordan algebra, with rank r, is presented. It is also established that the Carathéodory number of that cone is equal to r. The consequences about the optimal parameter of the barrier F are also deduced. Based in the properties of a defined ν − Euclidian barrier, a subgroup of automorphisms of a symmetric cone of a Euclidean vector space is constructed. A class of coherent algebras is described, namely the class of homogeneous symmetric coherent algebras (which are directly related with strongly regular graphs). An algorithm is then proposed for the determination of strongly regular graphs of order even, supposing that all reduced symmetric unipotent latin squares of the same order are known. Finally, families of Euclidean Jordan algebras including regular and strongly regular graphs are determined and their character tables are deduced.