Representações Matriciais Fraccionárias em Codificação Convolucional

Abstract

Os objectos de estudo desta tese são os códigos convolucionais sobre um corpo, constituídos por sequências com suporte compacto à esquerda. Aplicando a abordagem comportamental à teoria dos sistemas, é obtida uma nova definição de código convolucional baseada em propriedades estruturais do próprio código. Os codificadores e os formadores de síndrome de um código convolucional são, respectivamente, as representações de imagem e as representações de núcleo do código. As suas estruturas e propriedades são estudadas, utilizando representações matriciais fraccionárias (RMF's). Seguidamente, são analisados os codificadores e formadores de síndrome minimais de um código convolucional, sendo apresentada uma parametrização simples das suas RMF's. Mostra-se também como obter todos os codificadores minimais de um código convolucional por aplicação de realimentação estática do estado e précompensação. De modo análogo, obtêm-se todos os formadores de síndrome minimais utilizando injecção da saída e pós-compensação. Finalmente, estudam-se os codificadores desacoplados de um código convolucional, que estão directamente ligados à sua decomposição. Apresenta-se um algoritmo para determinação de um codificador desacoplado maximal, que permitirá obter a decomposição máxima do código. Quando se restringe a análise dos codificadores desacoplados aos minimais, obtém-se um codificador canónico desacoplado e parametriza-se, utilizando RMF's, todos os codificadores minimais que apresentam grau máximo de desacoplamento.

The objects of study of this thesis are the convolutional codes over a field, constituted by left compact sequences. To define a convolutional code we consider the behavioral approach to systems theory, and present a new definition of convolutional code, taking into account its structural properties. Matrix Fractions Descriptions (MFD’s) are used as a tool for investigating the structure of the encoders and the syndrome formers of a convolutional code, which are, respectively, the image and the kernel representations of the code. Next, we concentrate on the study of the minimal encoders and syndrome formers, and obtain a simple parametrization of their MFD’s. We also show that static feedback and precompensation allow to obtain all minimal encoders of the code. The same is done for the minimal syndrome formers, using output injection and postcompensation. Finally, we analyse the decoupled encoders of a convolutional code, which are associated with code decomposition. We provide an algorithm to determine a maximally decoupled encoder, and, consequently, the finest decomposition of the code. Restricting to minimal decoupled encoders, we first obtain a canonical decoupled one, and parametrize, via MFD’s, all minimal decoupled encoders realizing the finest decomposition of the code.