Algoritmos inversos para problemas mal postos em tomografia

Abstract

Esta tese está dedicada ao estudo de diferentes aspectos da Tomografia de Indução Magnética (TIM), a modalidade mais recente da tomografia eléctrica. A visualização de distribuições espaciais das propriedades eléctricas / magnéticas em sistemas tão diversos como o corpo humano, o interior da terra ou o interior de um tubo, através da medição do campo na sua periferia, tem recebido muita atenção nos últimos 25 anos. Uma dificuldade relacionada com este tipo de técnicas é que o processo de criação da imagem está relacionado com a solução de um problema inverso que é mal posto e não linear, o que significa a falta de unicidade ou estabilidade da solução para um conjunto fixo de dados. Neste trabalho, propõe-se um modelo analítico da TIM que nos permite estudar a natureza do processo tomográfico. Este modelo foi usado para simular e comparar diferentes estratégias de recolha de dados, estudar a má postura do problema, obter gráficos do campo magnético e como um meio de teste de algoritmos de reconstrução. As técnicas de regularização são amplamente conhecidas em diferentes campos como ferramentas poderosas para lidar com a má postura dos problemas inversos. Foram implementados vários destes métodos e avaliada a sua eficácia na geração de imagens com dados simulados e reais. Um método especialmente interessante é um método, chamado ARTUR, que se baseia na preservação das regiões de gradiente acentuado da distribuição e que foi aplicado pela primeira vez em tomografía eléctrica com resultados muito positivos. O impacto da não negatividade como fonte de regularização foi igualmente estudada. Finalmente, foi desenvolvido um algoritmo quantitativo não linear de estimação de paramétrica.

This thesis is dedicated to the study of Magnetic Induction tomography (MIT) the more recent modality of electrical imaging. Tomographic techniques based on electrical measurements taken from outside to probe the interior of quite different systems like can be the human body, the subsurface of the earth or the flow inside an industrial pipe line have received a lot of attention in the last 25 years. One challenge posed by this kind of techniques is that the imaging process is related to the solution of a strongly ill-posed and non-linear inverse problem that often means the lack of uniqueness or stability of the solution for a given data set. In this work an MIT analytical model is proposed that will allow us to study the nature of the tomographic process through the evaluation of its ill-posedness. It is used to simulate and compare different data collection strategies, to study the invertibility of the problem, to obtain graphical views of the field and as a framework to test inversion algorithms. Regularization techniques are widely spread in different fields as powerful tools to deal with ill-posed problems. We have implemented several of these methods and tested their effectiveness with simulated and real data as well. Specially, an edge-preserving technique called ARTUR has been applied for the first time in electrical tomography with encouraging results. The impact of the non-negativity as a source of regularization when incorporated in the inversion procedures has been studied and quantified. Finally, it has been developed a quantitative algorithm for MIT parameter estimation.