Resolução das equações de Maxwell por análise multiresolução usando wavelets interpolatórias

Abstract

Um dos métodos numéricos mais usados actualmente na análise e simulação de estruturas electromagnéticas é o FDTD, que está obviamente relacionado com uma representação em espaço físico dos campos. As vantagens desta representação incluem o modo simples como se pode aproximar as derivadas, o produto, a soma e a forma elegante de se aplicarem as condições fronteira. Contudo, e dependendo obviamente do problema, normalmente os vectores resultam densos, determinados pela menor dimensão a discretizar originando grelhas uniformes, o que porventura pode levar a uma sobre amostragem espacial e a um aumento do tempo de computação. Por esta razão, há interesse em métodos numéricos adaptativos que usem uma grelha mais refinada apenas em certas regiões do espaço, e menos refinadas noutras. Além disso, com a evolução temporal, é importante que seja possível redefinir as grelhas de uma forma dinâmica e automática, que permitam de alguma forma prever e acompanhar a evolução da solução com o tempo. Uma maneira de se conseguir grelhas adaptativas esparsas é usar representações baseadas em wavelets de primeira geração. Contudo, as wavelets de segunda geração apresentam outras vantagens tornando a representação mais próxima de uma representação em espaço físico. O método adoptado neste trabalho para a obtenção da grelha adaptativa é baseado nas técnicas de análise wavelet interpolatória. Usando este tipo de análise é possível a construção de um esquema de interpolação adaptativa que permite fazer a ligação entre os ambientes em que as grelhas são uniformes e aqueles em que são esparsas. Usando este método, a estrutura da grelha apresenta uma composição heterogénea: esparsa em regiões de suavidade e densa em regiões de variação mais acentuada. As equações de Maxwell são discretizadas usando wavelets interpolatórias em duas tipos de malhas: entrelaçadas e não entrelaçadas. É feita a comparação do desempenho de cada uma das malhas analisando o comportamento da dispersão e estabilidade e são retiradas as principais conclusões. Para se provar a viabilidade do método são apresentados diversos exemplos de resultados a 1D. Para um dos exemplos é também feita a comparação dos resultados obtidos por este método com os obtidos pelo FDTD.

FDTD remains one of the most often used numerical methods for the simulation and analysis of electromagnetic structures. It is based on a sampled (physical) representation of the electromagnetic fields, leading to a number of advantages that include the ease with which sums, products and derivatives can be implemented, and the simple and elegant way of handling boundary conditions. However, FDTD leads in most problems to dense (non-sparse) vectors and matrices, determined by uniform meshes that may adequately represent localized details, but that usually oversample elsewhere in space, increasing the computation time. For this reason there is a growing demand for adaptive numerical methods based on adaptive meshes, that is, meshes that are finer in regions containing transients, and coarser elsewhere. Since fields evolve with time, spatial adaptivity is not enough. Time varying meshes, able to track the evolution of the solution in time as well as in space, are also necessary for the efficient solution of electromagnetic problems. One way of obtaining these sparse adaptive meshes is to drop sampled (physical space) representations, and adopt wavelet based representations. First generation wavelets lead to the required adaptive representations, but unfortunately do not seem as attractive when dealing with general boundary conditions, or when computing nonlinear functions such as the product. The methods adopted in this work emphasize second generation interpolating wavelets. Because these wavelets interpolate, it is possible to maintain the physical space representation, now based on nonuniformly sampled fields, and to handle boundary conditions in a simple way. Furthermore, the computation of products and sums is not difficult, and approximations to the derivatives can be obtained based on finite differences. We discretized Maxwell equations using two meshes, corresponding to the electric and magnetic fields. The meshes can be either staggered or nonstaggered, and adapt in space and in time to the nature of the fields. A comparison of the performance of the staggered and non-staggered meshes is presented, and conclusions are obtained as far as the stability and dispersion are concerned. In order to show the feasibility of the methods, 1D examples and comparisons with FDTD are described.