Determinação de grafos regulares excecionais com recurso a (K, T)-extensões

Abstract

Um grafo excecional é um grafo conexo com menor valor próprio não inferior a -2 que não é grafo linha generalizado. Esta tese tem como objetivo apresentar uma nova t´técnica de construção de grafos regulares, com certas propriedades de natureza combinatória e espetral invariantes, e aplicá-la na construção de todos os grafos regulares excecionais. O trabalho encontra-se dividido em duas partes. Na primeira parte descreve- -se a nova t´técnica de construção de grafos regulares pela introdução de conjuntos (κ, τ )-regulares, designada de (κ, τ )-extensão, e define-se uma relação de ordem parcial entre grafos regulares. Mostra-se que a (κ, τ )- extensão de um grafo se reduz à construção de matrizes de incidência de um 1-design combinatório, para a qual se definem propriedades que previnem a construção de grafos isomorfos. Além disso, esta t´técnica permite a construção de grafos regulares com partição equilibrada e apresentam-se algumas propriedades espetrais destes grafos. Na segunda parte ´e feita uma breve descrição das três técnicas conhecidas para a construção dos grafos regulares excecionais. Posteriormente, aplicam-se as (κ, τ )-extensões na construção recursiva do conjunto dos grafos regulares excecionais, que se divide em três camadas. No caso das 1a e 2a camadas, os grafos obtém-se por (0, 2)-extensões e, no caso da 3a camada, por (1, 3)-extensões. Consequentemente, conclui-se que, para os grafos das 1a e 2a camadas o número de independência atinge o majorante de Hoffman e que o conjunto dos grafos regulares excecionais possui uma estrutura de conjunto parcialmente ordenado, sendo apresentando o respetivo diagrama de Hasse.

An exceptional graph is a connected graph with least eigenvalue greater than or equal to -2 which is not a generalized line graph. The aim of this thesis is to present a new technique for the construction of regular graphs, with certain spectral and combinatorial invariant properties, and to apply it in the construction of all regular exceptional graphs. The work is divided into two parts. The first part describes a new construction technique that introduces (κ, τ )-regular sets in regular graphs, called (κ, τ )-extension, and defines a partial order between regular graphs. It is shown that the process of extending a graph is reduced to the construction of the incidence matrix of a combinatorial 1-design, considering several rules to prevent the production of isomorphic graphs. Furthermore, this technique allows the construction of regular graphs with an equitable partition and some spectral properties of these graphs are presented. The second part starts with a brief description of the three techniques, previously known for the construction of regular exceptional graphs. Later, the (κ, τ )-extensions are applied to the recursive construction of the set of regular exceptional graphs, which are partitioned in three layers. In the case of the 1st and 2nd layers, graphs are obtained by (0, 2)-extensions and in the case of 3rd layer, by (1, 3)-extensions. Therefore, we conclude that, the independence number attains Hoffman’s upper bound for the graphs of 1st and 2nd layers and the set of regular exceptional graphs has a partially ordered set structure whose Hasse diagram is presented.