Operadores de Wiener-Hopf, factorizações e teoria da realização

Abstract

Na presente dissertação é feito um estudo dos operadores de Wiener-Hopf abstractos, em espaços de Banach, e de algumas técnicas de factorização associadas. Estas factorizações permitem deduzir diversas propriedades relativas às eventuais soluções de um largo conjunto de equações integrais e, em especial, das equações integrais de Wiener-Hopf, que foi o ponto de partida de Norbert Wiener e Eberhard Hopf na descoberta dos processos de factorização. Estes processos vêm, ainda, permitir a ligação do estudo das equações integrais de Wiener-Hopf com o estudo das realizações racionais e, assim estabelecer uma ligação entre as factorizações de Wiener-Hopf e a teoria da realização. De facto, se uma equação integral de Wiener-Hopf admitir símbolo racional, este pode tomar a forma de uma realização racional e, assim, pode-se proceder a factorizações conhecidas no seio da teoria da realização, de modo a se alcançar a solução. Neste âmbito, tanto perspectivas gerais como exemplos concretos são apresentados na presente dissertação que não contém resultados matemáticos originais.

In the present dissertation, a study of Wiener-Hopf abstract operators, in Banach spaces, and of some associated factorization techniques is performed. These factorizations allow the inference of several properties concerning eventual solutions of an extensive set of integral equations and, especially, of the Wiener-Hopf integral equations, which was the starting point for Norbert Wiener and Eberhard Hopf in the discovery of the factorization processes. Additionally, these processes allow the connection between the study of Wiener-Hopf integral equations and the study of rational realizations establishing, in this manner, a connection between Wiener-Hopf factorizations and the realization theory. In fact, if a certain Wiener-Hopf integral equation admits a rational symbol, the latter can be presented by a rational realization and, hence, one can proceed with the factorizations known in the context of the realization theory and, therefore, attain the solution. In this context, general perspectives, as well as, concrete examples are presented in the current dissertation, which does not contain original mathematical results.