Minimal state-space realizations of 2D convolutional codes

Abstract

In this thesis we consider two-dimensional (2D) convolutional codes. As happens in the one-dimensional (1D) case one of the major issues is obtaining minimal state-space realizations for these codes. It turns out that the problem of minimal realization of codes is not equivalent to the minimal realization of encoders. This is due to the fact that the same code may admit different encoders with different McMillan degrees. Here we focus on the study of minimality of the realizations of 2D convolutional codes by means of separable Roesser models. Such models can be regarded as a series connection between two 1D systems. As a first step we provide an algorithm to obtain a minimal realization of a 1D convolutional code starting from a minimal realization of an encoder of the code. Then, we restrict our study to two particular classes of 2D convolutional codes. The first class to be considered is the one of codes which admit encoders of type n 1. For these codes, minimal encoders (i.e., encoders for which a minimal realization is also minimal as a code realization) are characterized enabling the construction of minimal code realizations starting from such encoders. The second class of codes to be considered is the one constituted by what we have called composition codes. For a subclass of these codes, we propose a method to obtain minimal realizations by means of separable Roesser models.

Nesta tese consideramos códigos convolucionais a duas dimensões (2D). Como acontece no caso unidimensional (1D) uma das questões fundamentais neste contexto diz respeito à obtenção de realizações mínimas de espaço de estados para estes códigos. O problema da realizacão mínima de códigos não é equivalente ao problema da realizacão mínima de codificadores. Tal acontece uma vez que um dado código admite diferentes codificadores com diferentes graus de McMillan. Nesta tese, focamos a nossa atencão no estudo da minimalidade de realizações de códigos convolucionais 2D através de modelos de Roesser separáveis. Tais modelos podem ser encarados como a conexão em série de dois sistemas 1D. Numa primeira fase propomos um procedimento que possibilita obter realizações mínimas de um código convolutional 1D a partir de realizações mínimas de um codificador desse código. De seguida, restringimos o nosso estudo a duas classes particulares de códigos convolucionais 2D. A primeira classe a ser considerada é a classe de códigos que admite codificadores do tipo n 1. Para estes códigos, são caracterizados os codificadores mínimos (i.e. codificadores para os quais uma realização mínima também é mínima enquanto realização do código), possibilitando a construção de realizações mínimas de códigos a partir dos seus codificadores mínimos. A segunda classe a ser considerada é a classe constituída por códigos a que demos o nome de "composition codes". Para uma subclasse destes códigos, propomos um método de obtenção de realizações mínimas através de modelos de Roesser separáveis.