Reflections of universal algebras into semilattices, their Galois theories, and related factorization systems

Abstract

Estabelecemos uma condição suficiente para a preservação dos produtos finitos, pelo reflector de uma variedade de álgebras universais numa subvariedade, que é, também, condição necessária se a subvariedade for idempotente. Esta condição é estabelecida, seguidamente, num contexto mais geral e caracteriza reflexões para as quais a propriedade de ser semi-exacta à esquerda e a propriedade, mais forte, de ter unidades estáveis, coincidem. Prova-se que reflexões simples e semi-exactas à esquerda coincidem, no contexto das variedades de álgebras universais e caracterizam-se as classes do sistema de factorização derivado da reflexão. Estabelecem-se resultados que ajudam a caracterizar morfismos de cobertura e verticais-estáveis em álgebras universais e no contexto mais geral já referido. Caracterizam-se as classes de morfismos separáveis, puramente inseparáveis e normais. O estudo dos morfismos de descida de Galois conduz a condições suficientes para que o seu par kernel seja preservado pelo reflector.

We begin with a sufficient condition for the preservation of finite products by a reflector from a variety of universal algebras into a subvariety, which is also a necessary condition when the subvariety is idempotent. This condition is then stated in a more general setting and this characterizes reflections for which semileftexactness and the stronger stable units property are the same. It is shown that simple and semi-left-exact reflections coincide in the context of varieties of universal algebras, and characterizations of the classes of the derived reflective factorization system are given. Several statements help then to characterize covering and stably-vertical morphisms of universal algebras, and in the more general setting referred to above. The classes of separable, purely inseparable and normal morphisms are characterized as well. The study of Galois descent morphisms provides conditions under which their kernel pairs are preserved by the reflector.