Optimal control and numerical optimization applied to epidemiological models

Abstract

A relação entre a epidemiologia, a modelação matemática e as ferramentas computacionais permite construir e testar teorias sobre o desenvolvimento e combate de uma doença. Esta tese tem como motivação o estudo de modelos epidemiológicos aplicados a doenças infeciosas numa perspetiva de Controlo Ótimo, dando particular relevância ao Dengue. Sendo uma doença tropical e subtropical transmitida por mosquitos, afecta cerca de 100 milhões de pessoas por ano, e é considerada pela Organização Mundial de Saúde como uma grande preocupação para a saúde pública. Os modelos matemáticos desenvolvidos e testados neste trabalho, baseiam-se em equações diferenciais ordinárias que descrevem a dinâmica subjacente à doença nomeadamente a interação entre humanos e mosquitos. É feito um estudo analítico dos mesmos relativamente aos pontos de equilíbrio, sua estabilidade e número básico de reprodução. A propagação do Dengue pode ser atenuada através de medidas de controlo do vetor transmissor, tais como o uso de inseticidas específicos e campanhas educacionais. Como o desenvolvimento de uma potencial vacina tem sido uma aposta mundial recente, são propostos modelos baseados na simulação de um hipotético processo de vacinação numa população. Tendo por base a teoria de Controlo Ótimo, são analisadas as estratégias ótimas para o uso destes controlos e respetivas repercussões na redução/erradicação da doença aquando de um surto na população, considerando uma abordagem bioeconómica. Os problemas formulados são resolvidos numericamente usando métodos diretos e indiretos. Os primeiros discretizam o problema reformulando-o num problema de optimização não linear. Os métodos indiretos usam o Princípio do Máximo de Pontryagin como condição necessária para encontrar a curva ótima para o respetivo controlo. Nestas duas estratégias utilizam-se vários pacotes de software numérico. Ao longo deste trabalho, houve sempre um compromisso entre o realismo dos modelos epidemiológicos e a sua tratabilidade em termos matemáticos.

The relationship between epidemiology, mathematical modeling and computational tools allows to build and test theories on the development and fighting of a disease. This thesis is motivated by the study of epidemiological models applied to infectious diseases in an Optimal Control perspective, giving particular relevance to Dengue. It is a subtropical and tropical disease transmitted by mosquitoes, that affects about 100 million people per year and is considered by the World Health Organization as a major concern for public health. The mathematical models developed and tested in this work, are based on ordinary differential equations that describe the dynamics underlying the disease, including the interaction between humans and mosquitoes. An analytical study is made related to equilibrium points, their stability and basic reproduction number. The spreading of Dengue can be attenuated through measures to control the transmission vector, such as the use of specific insecticides and educational campaigns. Since the development of a potential vaccine has been a recent global bet, models based on the simulation of a hypothetical vaccination process in a population are proposed. Based on the Optimal Control theory, we have analyzed the optimal strategies for using these controls and respective impact on the reduction / eradication of the disease during an outbreak in the population considering a bioeconomic approach. The formulated problems are numerically solved using direct and indirect methods. The first discretize the problem turning it into a nonlinear optimization problem. Indirect methods use the Pontryagin Maximum Principle as a necessary condition to find the optimal curve for the respective control. In these two strategies several numerical software packages are used. Throughout this study, there was a compromise between the realism of epidemiological models and their mathematical tractability.