Quaternionic polynomials and behavioral systems

Abstract

Nesta tese consideramos sistemas comportamentais cujas trajectórias são as soluções de equações às diferenças ou diferenciais quaterniónicas. Como acontece no caso real ou complexo, os polinómios quaterniónicos e as matrizes quaterniónicas desempenham um papel muito importante na caracterização das propriedades dinâmicas de tais comportamentos. Portanto, uma grande parte desta tese é dedicada ao estudo destes objectos. Depois de darmos algumas noções sobre quaterniões e matrizes quaterniónicas, introduzimos os polinómios quaterniónicos. A relação não trivial entre zeros e divisores destes polinómios é analisada. Mais ainda, algumas ferramentas algébricas tais como o determinante polinomial e a forma de Smith quaterniónica de matrizes polinomiais quaterniónicas são apresentadas e caracterizadas. Estas ferramentas são essenciais na caracterização da controlabilidade e da estabilidade de comportamentos quaterniónicos. Também introduzimos a forma de Smith-McMillan de matrizes racionais quaterniónicas, que é usada no estudo da estabilidade BIBO de um comportamento quaterniónico.

In this thesis we considerer behavioral systems whose trajectories are given as solutions of quaternionic difference or differential equations. As happens in the real or complex case, it turns out that quaternionic polynomials and polynomial matrices play an important role in the characterization of the dynamical properties of such behaviors. Therefore, great part of this thesis is devoted to the study of those objects. After giving some notions on quaternions and quaternionic matrices we introduce the quaternionic polynomials. The non-trivial relation between zeros and divisors of these polynomials is analyzed. Moreover, some algebraic tools such as the polynomial determinant and the quaternionic Smith form of quaternionic polynomial matrices are presented and characterized. These tools are essential in the characterization of the controllability and stability of quaternionic behaviors. We also introduce the quaternionic Smith-McMillan form of quaternionic rational matrices, which is used in the study the BIBOstability of a quaternionic behavior.