Dualidades naturais (teoria das categorias)

Abstract

Foi em 1945 que as categorias foram introduzidas por Samuel Eiienberg e por Saunders Mac-Lane. Inicialmente foram aplicadas com o objectivo de simplificar certos aspectos da topologia. No entanto, estas noções revelaram-se extremamente úteis na unificação de diversos conceitos em muitos outros raiiiix da Matemática. De facto, muitas construções nas várias áreas da Matemática têm uma descrição semelhante e a teoria das categorias, e em particular a teoria das dualidades, fornecem uma descrição uniforme destas construções. Em qualquer teoria matemática, objectos isomorfos são indistinguíveis em termos dessa teoria, e o seu objectivo é identificar e estudar construções e propriedades que são invariantes através dos isomorfismos da teoria (assim, por exemplo, a Álgebra estuda propriedades que não são alteradas, ou destruídas, quando um grupo é substituído por outro isomorfo a ele). Na teoria das categorias, um functor F:A-+B diz-se um isomoríismo se existir um functor G:B+A tal que: GoF=id e FoG=id. Neste caso as categorias A e B dizem-se isomorfas, AzB. Ao longo da dissertação, apresentar-se-ão numerosos exemplos de entidades isomorfas, que podem ser consideradas como "semelhantes" e ver-se-á que na Teoria das Categorias "é isomorfo a" pode ser visto como um sinónimo de "é igual a", e que a maior parte das definições e construções que se podem elaborar numa categoria não especificam "entidades únicas" mas, apenas, a menos de isomorfismo. Esta noção de "semelhança" é no entanto mais esWi do que necessário. De facto, se F tem inverso G entao, para cada A-objecto a e cada Bobjecto b, tem-se: a=G(F(a)) e b=F(G(b)); quando é suficiente, sob o ponto de vista da Teoria das Categorias, considerar A e 8 como "semelhantes" se se tem apenas: a=G(F(a)) em A e brF(G(b)) em B. E esta a noção de "igualdade" (equivalência) que é considerada neste trabalho. Duas categorias A e B são equivalentes, A=B, se existir um functor e isomorfismos naturais ~:id=GoF e o:id=FoG. Para o presente trabalho, são de especial interesse as equivalências entre categorias (conhecidas) e duais de categorias (conhecidas), e assim sendo, este trabalho propõe-se a estudar formas de obter equivalências de categorias e â estudar mais pormenorizadamente alguns casos concretos de categorias onde será aplicada a teoria das dualidades, nomeadamente, CompHaus é dualmente equivalente a C*-AIg (onde CompHaus é a categoria dos espaços compactos e separados e funções contfnuas, e C*-Alg a categoria das C*-Algebras e homomoríismos algébricos) e Bool é dualmente equivalente a Stone (onde Bool d a categoria das álgebras booleanas e homomo~smos booleanos, e Stone a categoria dos espaços compactos e separados totalmente desconexos e funções continuas).

The concept of a category was introduced by Eilenberg and Mac-Lane in 1945 with the aim to simplify certain aspects of the algebraic topology. However, the language of category theory proved to be useful in many other branches of mathematics as well and helps to understand better what is common to them. In fact, many constructions in mathematics have a similar description and category theory provides a unifom description of these constructions. In any mathematical theory, isomorphic objects are indistinguishctble in terrns of the theory and the objective of the theory is to identify and study constructions and properties that are invariant under isomorphism (thus, for example, algebra studies properties that they are not modified, or destroyed, when a group is substituted by another one isornorphic to it}. In fact, in category theory, "is isornorphic to" can be seen as a synonym of "is equal to" arid the major part of definitions and constructions in category theoty, do no! specify "uniquely", but only, as it will be seen, up to isomorphism. tn general, objects X and Y are called isomorphic if there exist arrows F:X-rY and G:Y-rX such that F.G=I e G.F=I. This concept can be extended to categories: given two categories C and D, C and D are called isomorphic, if there exist functors F:C-tD and G:D+C such that G.F=I and F.G='i. However, this notion of "similarity" is stricter than necessary. Under the point of view of category theory, it is more natural to require instead "a" to be isomorphic to "G(F(a))" and " b to be isomorphic to "F(G(b))"; and this is the notion of "equality" (equivalence} considered in this work. Of special inlerest to us are equivalences between (known) categories and duals of (known) categories. The knowledge of such and equivalence provides us with new infomation about involved categories, since in many "everyday" categories for instance products are easier to describe than coproduds. In the first chapter of this thesis we introduce the definition of a category and present severa1 examples. In the second chapter we study irt detail specjsi! morphisms and objects in a category and their properties. Furkhermore we study the concept of functor and (co)limit. In the third chapter we analyse the notions of natural transfomiation, equivalence and adjoint situation. In the fourth chapter we focus on the study of dual equivalences. We analyse the structure of a dual adjunction and provide techniques for their constructian. Finally, we give conditions which guarantee that we constructed adjunction is in fact an equivalence. We illustrate this procedure by examples, among them the dual equivalence between CompHauss and C*-AIg (where CompHauss is the category of compact and separated spaces and C*-AIg the category of C*- algebras).