Regularidade dos minimizantes no cálculo das variações e controlo óptimo

Abstract

Desenvolvemos uma abordagem unificada ao estudo da regularidade Lipschitziana das trajetórias minimizantes no cálculo das variações e controlo ótimo. Começamos por estender o primeiro teorema de Noether a problemas de controlo ótimo, permitindo a construção de leis de conservação para as extremais de Pontryagin, a partir de simetrias generalizadas dos problemas. Estabelecemos depois os primeiros resultados encontrados na literatura, concernentes `a regularidade Lipschitziana para problemas do controlo ótimo com dinâmica não linear. Mesmo para o caso de dinâmica linear, como sejam os problemas do cálculo das variações, quer a nossa generalização do teorema da simetria de Noether, quer os nossos resultados de regularidade, estendem os resultados anteriormente conhecidos. Parte dos resultados da tese foram sendo apresentados pelo autor `a comunidade científica em conferencias internacionais, vide verbi gratia [282, 283, 270, 276, 266, 271, 273], e na forma de “research reports”: [281, 264, 265, 268, 267, 272, 274, 269]. Alguns dos resultados já foram publicados em revistas internacionais: [217, 218, 275, 270]. Outros estão submetidos/ aceites para publicação [277, 279, 280, 278].

In this Ph.D. thesis a new approach to Lipschitzian regularity of the minimizing trajectories to problems of the calculus of variations and optimal control is developed. The author also generalizes the classical Noether’s symmetry theorem (first Noether theorem) to invariant optimal control problems, by extending the very concept of invariance of the problem. The result relates the quasi-symmetries of the problems with the conservation laws for the Pontryagin extremals. With the help of such conservation laws, the first results in the literature, regarding Lipschitzian regularity of the minimizing trajectories for optimal control problems with nonlinear dynamics, are obtained. Even for problems with linear dynamics, such as those of the calculus of variations, our results are new and able to cover new situations not treated before. Some results of the thesis are available in the english language. See the research reports [281, 264, 265, 268, 267, 272, 274, 269], the extended abstracts [282, 283], the refereed conference proceedings [276, 266, 271, 273], and the refereed journals [217, 218, 275, 270]. The following papers are submitted or accepted for publication: [277, 279, 280, 278].