Classification of regular oriented hypermaps by hiperfaces

Abstract

Esta dissertação apresenta uma classificação de todos os hipermapas orientados regulares, com um número primo de hiperfaces e completa a classificação de todos os hipermapas orientados regulares até 7 hiperfaces. Um hipermapa orientado regular é um terno ordenado composto por um grupo finito, designado grupo de monodromia, e dois geradores. O número de hiperfaces é o número de órbitas do grupo cíclico gerado pelo primeiro dos geradores considerados. Apesar desta caracterização, esta classificação não é meramente algébrica, de facto, um hipermapa regular orientado corresponde a um mergulho celular de um hipergrafo conexo numa superfície compacta. Um hipermapa orientado regular é reflexivo se admite uma reflexão, isto é, um automorfismo do hipergrafo subjacente invertendo a orientação global da superfície, caso contrário o hipermapa diz-se quiral. Algebricamente um hipermapa regular orientado é reflexivo se a correspondência entre os geradores considerados e os respectivos inversos define um isomorfismo do grupo de monodromia. Nesta classificação para além dos grupos de monodromia são calculados os grupos e índices de quiralidade dos hipermapas regulares orientados até seis hiperfaces. A classificação dos hipermapas orientados regulares com uma e duas hiperfaces, obtém-se da classificação dos hipermapas orientavelmente regulares incluída em [3]. Os hipermapas quirais até 4 hiperfaces foram classificados por Breda d'Azevedo e Nedela em [9]. Nesta dissertação é estendido o trabalho desenvolvido em [9] aos hipermapas reflexivos com 3 e 4 hiperfaces e a todos os hipermapas orientados regulares com 5, 6 e 7 hiperfaces. Este foi o ponto de partida para a generalização da classificação a todos os hipermapas regulares com um número primo de hiperfaces.

This dissertation gives a classification of all regular oriented hypermaps, with a prime number of hyperfaces and completes the classification of all regular oriented hypermaps up to 7 hyperfaces. A regular oriented hypermap is an ordered triple composed with a finite group, called monodromy group, and two generators. The number of hyperfaces is the number of orbits of the cyclic group generated by the first of the prescribed generators. Despite this characterization, this classification is not merely algebraic. In fact a hypermap corresponds to an embedding of a connected hypergraph into an orientable compact surface. A regular oriented hypermap is reflexible if admits a reflection, that is, an automorphism of the underlying hypergraph reversing the global orientation of the surface, otherwise it is chiral. Algebraically, a regular oriented hypermap is reflexible if the correspondence between the prescribed generators and its inverses defines an isomorphism of the monodromy group. In this classification it is given not only the monodromy groups but also the chirality groups and the chirality indexes. The classification of regular oriented hypermaps with one and two hyperfaces is obtained from the classification of orientable regular hypermaps with 1 and 2 hyperfaces included in [3]. The chiral hypermaps with 3 and 4 hyperfaces were classified by Breda d'Azevedo and Nedela in [9]. In this dissertation the work done in [9] is extended to the reflexible hypermaps with 3 and 4 hyperfaces and to all regular oriented hypermaps with 5, 6 and 7 hyperfaces. This was the beginning point for the generalization of the classification to all regular oriented hypermaps with a prime number of hyperfaces.