Magnetic properties of quantum electronic systems with non-trivial geometries

Abstract

O modelo de Hubbard é um dos modelos mais simples para descrever o movimento e a interacção de electrões em sólidos. Tem sido largamente estudado pelas suas aplicações na descrição de condutores orgânicos e na procura de supercondutividade a cada vez mais altas temperaturas. O objectivo desta tese é contribuir para a melhor compreensão do comportamento do modelo de Hubbard a duas dimensões quando a geometria da rede é alterada, nomeadamente torcendo as condições de fronteira ou introduzindo frustração geométrica. Começa-se por fazer uma extensão do diagrama de fases magnéticas do modelo de Hubbard numa rede quadrada usando a aproximação de campo médio, introduzindo a possibilidade de modulação da densidade de spin, contrastando assim com estudos anteriores. Isto foi conseguido dividindo a rede quadrada em duas sub-redes, podendo as suas densidades de spin ser diferentes. Concluiu-se que, em algumas regiões do diagrama de fases, esta densidade de spin modulada permite ao sistema baixar a sua energia livre. Em segundo lugar, introduz-se uma variação da rede quadrada, a que chamamos rede helicoidal. Estas duas redes são equivalentes no limite termodinâmico, visto que apenas diferem nas condições de fronteira. É apresentado um Hamiltoniano efectivo que descreve as correcções de energia em primeira ordem devidas aos saltos transversais no limite de acoplamento forte (strong-coupling limit). Devido à introdução destes saltos, observa-se uma dinâmica de spins, mesmo no limite de interacção electrónica infinita (ou seja, sem as correcções de Heisenberg). É apresentada uma expressão analítica para a correcção energética no caso de uma lacuna e um spin invertido, bem como representações gráficas das correcções para vários spins invertidos, obtidas numericamente. Em terceiro lugar, apresenta-se uma unificação dos estados localizados de redes quadradas decoradas. Esta unificação é apresentada na forma de "regras de origami", que incluem dobrar e desdobrar estados localizados de Hamiltonianos sem interacções (tight-binding ). Mostra-se que os estados localizados das redes decoradas de Lieb, Mielke e Tasaki podem ser obtidos uns a partir dos outros aplicando estas regras. Seguidamente, dá-se ênfase às redes decoradas da classe de Lieb. Começa-se por estudar a evolução temporal dos seus estados localizados quando um campo magnético é aplicado lentamente e perpendicularmente ao plano da rede. Conclui-se que, em concordância com o teorema adiabático, o estado localizado mantém-se localizado desde que haja uma diferença energética finita entre a sua energia e o resto do espectro do Hamiltoniano. Além disto, mostra-se que a forma como o estado localizado evolui pode ser descrita por um Hamiltoniano mais simples, com apenas três níveis energéticos, cuja solução é análoga a um movimento de precessão clássico. Finalmente, introduz-se a interacção de Hubbard na rede de Lieb e, usando a aproximação de campo médio, obtém-se o diagrama de fases magnéticas desta rede, previamente inexistente na literatura. Conclui-se que, no caso de redes bipartidas com diferente número de átomos em cada sub-rede, a abordagem de campo médio tradicional não reproduz resultados correctos na situação de um electrão por sítio (half filling ). Posto isto, segue-se uma abordagem em campo médio mais complexa (Hartree-Fock generalizada), que permite que as sub-redes tenham diferentes magnetizações e densidades de carga. Com estas modificações, a nova abordagem de campo médio já reproduz correctamente os resultados exactos em half filling, dados pelo teorema de Lieb e pelo teorema da densidade uniforme.

The Hubbard model is one of the simplest models to describe the motion and interaction of electrons in solids. It has been widely studied due to its applications in the description of organic conductors and in the search for high-Tc superconductivity. The aim of this thesis is to contribute for the better understanding of the behavior of the two-dimensional Hubbard model when the geometry of the lattice is changed, namely by twisting the boundary conditions or introducing geometric frustration. We begin by extending the mean-field magnetic phase diagram of the Hubbard model in a square lattice, by adding the possibility of spin density modulation, in contrast with previous studies. This was done by considering a square lattice divided into two sublattices, which were allowed to have different spin densities. We found that, in some regions of the phase diagram, nonuniform spin density throughout the lattice leads to a lower free energy. Secondly, we introduce a variation of the square lattice, which we call the helicoidal lattice. This lattice and the square lattice are equivalent in the thermodynamic limit, as they differ only in the boundary conditions. We present an effective Hamiltonian that describes the first-order energy corrections due to transversal hoppings in the strong-coupling limit, and show that interesting spin dynamics arises, even without the Heisenberg correction, due to hole hoppings in the transversal direction. We present an analytic expression for the energy correction in the case of one hole and one inverted spin. The numerically-obtained corrections for higher number of inverted spins are also shown. Thirdly, we present a unifying picture for localized states of decorated square lattices. This unification is presented in the form of what we call the "origami rules", which include folding and unfolding localized states of tight-binding Hamiltonians. We show that localized states of decorated lattices of the Lieb, Mielke and Tasaki classes can be obtained from each other by applying these rules. We then focus on the decorated lattices of the Lieb class. We begin by studying the time evolution of its localized states when a magnetic field is slowly applied perpendicularly to the plane of the lattice. We find that, as stated by the adiabatic theorem, the localized eigenstate remains localized as long as there is an energy gap between its energy and the rest of the Hamiltonian spectrum. Furthermore, we show that the way that the localized state evolves can be described by a simple three-level toy Hamiltonian, whose solution is analogous to a classical precession motion. Lastly, we introduce the Hubbard interaction in the Lieb lattice and, using the mean-field approximation, obtain the magnetic phase diagram of this lattice, previously absent from the literature. We find that, in the case of bipartite lattices with a different number of atoms on each sublattice, the traditional mean-field approach fails to yield correct results at half-filling. Therefore, we follow a more complex (generalized Hartree-Fock) mean-field approach, which allows the sublattices to have different magnetizations and charge densities. Under these new considerations, the mean-field approach correctly reproduces the exact results at half-filling, given by Lieb’s theorem and the uniform density theorem.