Constructive approximation by monogenic polynomials

Abstract

In this thesis fundamentals of constructive approximation in Clifford Analysis are presented. This includes the consideration of Clifford algebravalued functions classes in different spaces related to special approximation problems. The problem of best approximation in Hilbert spaces of quaternionvalued functions is considered and the rate of convergence for the best approximation of a square-integrable function by general homogeneous monogenic polynomials is obtained. Furthermore, the construction of several complete systems of homogeneous monogenic polynomials is achieved using different methods. The first one is derived from the generalization of the complex powers by a permutational product. As an essential tool, the second method makes use of the hypercomplex derivative applied to a special system of real homogeneous harmonic polynomials. Moreover, orthogonality of the aforementioned systems, with respect to certain inner products, is investigated and complete orthonormal systems of homogeneous monogenic polynomials are constructed. A detailed analysis of these systems resulted in decompostion theorems of the considered function spaces. Some applications of the constructed systems, including the determination of monogenic primitives of monogenic functions, are presented.

Nesta tese são apresentados fundamentos de aproximação construtiva em Análise de Clifford. Neste contexto, são consideradas classes de funções com valores numa álgebra de Clifford pertencentes a diferentes espaços relacionados com especiais problemas de aproximação. É considerado o problema da melhor aproximação em espaços de Hilbert de funções quaterniónicas e é obtida a razão de convergência da melhor aproximação de uma função de quadrado integrável por polinómios homogéneos monogénicos gerais. São também construídos vários sistemas completos de polinómios homogéneos monogénicos, usando diferentes métodos. O primeiro método é derivado da generalização das potências complexas por um produto permutacional. Como ferramenta essencial, o segundo método faz uso da derivada hipercomplexa aplicada a um sistema especial de polinómios homogéneos harmónicos reais. A ortogonalidade dos sistemas acima mencionados é ainda investigada e sistemas ortonormais completos de polinómios homogéneos monogénicos são construídos. Uma análise detalhada destes sistemas resultou na possibilidade de decompor os espaços de funções considerados. Finalmente, são apresentadas algumas aplicações das propriedades dos sistemas construídos, incluindo a determinação de primitivas monogénicas de funções monogénicas.