D-pavimentações esféricas diedrais triangulares

Abstract

A. Breda, em 1992 classificou todas as d-pavimentações esféricas monoedrais bem como as suas propriedades transitivas motivada pelo trabalho de S. A. Robertson. Demonstrou ainda que todas as dobragens isométricas não triviais do plano euclidiano podem ser deformadas na dobragem isométrica standard. Contudo, ainda hoje não se sabe a resposta para as dobragens isométricas da esfera S². A. Santos, em 2005 descreveu todas as d-pavimentações esféricas diedrais cujos protótipos são um triângulo esférico e um paralelogramo esférico. Definiu ainda uma nova métrica no espaço das d-pavimentações esféricas, com o objectivo de tentar estabelecer uma relação entre deformações de dobragens isométricas e deformações de d-pavimentações esféricas. Neste trabalho, descrevemos todas as d-pavimentações esféricas diedrais cujos protótipos são um triângulo esférico equilátero e um triângulo esférico isósceles, um triângulo esférico equilátero e um triângulo esférico escaleno e dois triângulos esféricos isósceles não congruentes. Caracterizamos também as suas propriedades transitivas. No final dos Capítulos 2, 3 e 4 apresentamos deformações ou uma visão das deformações de cada uma das d-pavimentações esféricas diedrais encontradas na d-pavimentação standard, usando a topologia associada à nova métrica definida por A. Santos.

In 1992, A. Breda classified all monohedral spherical folding tilings (f-tilings for short) motivated by S. A. Robertson’s work. Proved also that any non-trivial isometric folding of the euclidian space is deformable into the standard one. However, the analogous situation in the sphere S² is not yet solved. In 2005, A. Santos described all dihedral f-tilings whose prototiles are a spherical triangle and a spherical parallelogram. He also defined a new metric in the space of the spherical f-tilings, with the aim to establish a relation between the deformation of isometric foldings and the deformation of f-tilings. Here, we extend this study and we describe all dihedral f-tilings whose prototiles are an equilateral and an isosceles spherical triangle, an equilateral and a scalene spherical triangle and two non-congruent isosceles spherical triangles. We also give their transitive properties. At the end of Chapters 2, 3 and 4, we give deformations or insights towards deformations of each one of the f-tilings produced into the standard f-tiling using the topology associated to the new metric introduced by A. Santos.